设有齐次线性方程组
{a11x1+a12x2+⋯a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯a2nxn=0⋯am1x1+am2x2+⋯amnxn=0(1)
\begin{cases}
a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots a_{1n} x_n = 0 \\
a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots a_{2n} x_n = 0 \\
\cdots \\
a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots a_{mn} x_n = 0
\end{cases} \tag{1}
⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯a2nxn=0⋯am1x1+am2x2+⋯amnxn=0(1)
记
A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn),x=(x1x2⋮xn)
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}, \hspace{1em} \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}
A=a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn,x=x1x2⋮xn
则 (1)(1)(1) 式可写成向量方程
Ax=0(2)
\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} \tag{2}
Ax=0(2)
定义 1（解向量） 若 x1=ξ11,x2=ξ21,⋯ ,xn=ξn1x_1 = \xi_{11},x_2 = \xi_{21}, \cdots, x_n = \xi_{n1}x1=ξ11,x2=ξ21,⋯,xn=ξn1 为 (1)(1)(1) 的解，则
x=ξ1=(ξ1ξ2⋮ξn)
\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\xi}_1 = \begin{pmatrix}
\xi_1 \\
\xi_2 \\
\vdots \\
\xi_n
\end{pmatrix}
x=ξ1=ξ1ξ2⋮ξn
称为方程组 (1)(1)(1) 的 解向量，也就是向量方程 (2)(2)(2) 的解。
根据向量方程 (2)(2)(2)，解向量具有如下性质和证明：
性质 1 若 x=ξ1,x=ξ2\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\xi}_2x=ξ1,x=ξ2 为向量方程 (2)(2)(2) 的解，则 x=ξ1+ξ2x = \boldsymbol{\xi}_1 + \boldsymbol{\xi}_2x=ξ1+ξ2 也是向量方程 (2)(2)(2) 的解。
证明 因为 A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2=0+0=0\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\xi}_1 + \boldsymbol{\xi}_2) = \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_1 + \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_2 = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0}A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2=0+0=0，所以 x=ξ1+ξ2\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\xi}_1 + \boldsymbol{\xi}_2x=ξ1+ξ2 满足方程 (2)(2)(2)，即为向量方程 (2)(2)(2) 的解。
性质 2 若 x=ξ1\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\xi}_1x=ξ1 为向量方程 (2)(2)(2) 的解，kkk 为实数，则 x=kξ1\boldsymbol{x} = k \boldsymbol{\xi}_1x=kξ1 也是向量方程 (2)(2)(2) 的解。
证明 因为 A(kξ1)=kAξ1=k0=0\boldsymbol{A}(k \boldsymbol{\xi}_1) = k \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_1 = k \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0}A(kξ1)=kAξ1=k0=0，所以 x=kξ1\boldsymbol{x} = k \boldsymbol{\xi}_1x=kξ1 满足方程 (2)(2)(2)，即为向量方程 (2)(2)(2) 的解
定义 2（基础解系） 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的 基础解系。
把向量方程 (2)(2)(2) 的全体解所组成的集合记作 SSS，如果能求得解集 SSS 的一个最大无关组 S0:ξ1,ξ2,⋯ ,ξtS_0:\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_tS0:ξ1,ξ2,⋯,ξt，那么方程 (2)(2)(2) 的任一解都可由最大无关组 S0S_0S0 线性表示；另一方面，根据性质 1 和性质 2 可知，最大无关组 S0S_0S0 的任何线性组合
x=k1ξ1+k2ξ2+⋯ktξt(k1,k2,⋯ ,kt为任意实数)
\boldsymbol{x} = k_1 \boldsymbol{\xi}_1 + k_2 \boldsymbol{\xi}_2 + \cdots k_t \boldsymbol{\xi}_t \hspace{1em} (k_1,k_2,\cdots,k_t 为任意实数)
x=k1ξ1+k2ξ2+⋯ktξt(k1,k2,⋯,kt为任意实数)
都是方程 (2)(2)(2) 的解，因此上式便是方程 (2)(2)(2) 的通解。